「瞿葩的数字游戏」数字王国的门神

第一眼：我cnm这什么西巴东西

这道题码量极小但数学含量极大，请谨慎观看

首先，整数不好算，我们把它转化为小数，在前面加一个$0.$

所以要求解的部分就变成了$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt 5}\times [{(\frac{1+\sqrt 5}{2})}^i-{(\frac{1-\sqrt 5}{2})}^i]\times {(\frac{1}{10})}^i=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt 5}\times [{(\frac{1+\sqrt 5}{20})}^i-{(\frac{1-\sqrt 5}{20})}^i]$

先把$\frac{1}{\sqrt 5}$丢在一边，就发现这就是两个等比数列求和后做差，套下公式

前半段的和$=\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt 5}{20}}-1=\frac{\frac{1+\sqrt 5}{20}}{\frac{19-\sqrt 5}{20}}=\frac{1+\sqrt 5}{19-\sqrt 5}$，后半段的和$=\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt 5}{20}}-1=\frac{\frac{1-\sqrt 5}{20}}{\frac{19+\sqrt 5}{20}}=\frac{1-\sqrt 5}{19+\sqrt 5}$

作个差得$\frac{1+\sqrt 5}{19-\sqrt 5}-\frac{1-\sqrt 5}{19+\sqrt 5}=\frac{19+\sqrt 5+19\sqrt 5+5-19+19\sqrt 5+\sqrt 5-5}{19\times 19-5}=\frac{40\sqrt 5}{365}=\frac{10\sqrt 5}{89}$

不要忘了我们最开始忽略的那个$\frac{1}{\sqrt 5}$，所以这一坨的最终答案就是$\frac{10}{89}$

又因为我们是把它放在了小数位里，所以我们只需要计算它的循环节就可以得到答案了